高等群论
可解群
可解群是只用交换块就能逐层搭建起来的群——从不需要任何真正非交换的单成分。这个名字来自伽罗瓦：一个多项式方程可用根式求解当且仅当它的伽罗瓦群可解，故群的可解性恰好告诉你能否只用域运算与 n 次根写出方程的根。
形式地，群 G 可解，若它有次正规列 1 = G_0 ⊴ G_1 ⊴ ... ⊴ G_n = G，其中每个商 G_{i+1}/G_i 都交换。等价地，导出列——G，然后 G' = [G, G]，再 G'' = [G', G']，依此类推——在有限步内到达平凡子群。对有限群，还有一个等价条件：所有合成因子都是素数阶的循环群。
可解群在取子群、取商与扩张下封闭，这使其成为一个稳健的类。分水岭例子是对称群：S_n 在 n ≤ 4 时可解，而 n ≥ 5 时不可解，因为 A_5 是非交换单群。这一事实经由伽罗瓦理论，恰恰说明了为何一般五次方程不能用根式求解，而四次以下可以。
每个有限 p-群都可解，因为它的中心非平凡，而对中心取商得到更小的 p-群，由归纳给出交换商链。对称群 S_4 经由 1 ⊴ V_4 ⊴ A_4 ⊴ S_4 可解，其交换商的阶为 4、3、2。
p-群与 S_4 的可解性。
两个著名里程碑框定了有限理论：费特-汤普森定理（每个奇数阶有限群都可解）与伯恩赛德 p^a q^b 定理（阶只有两个素因子的有限群都可解）。两者都远比初等定义所暗示的更深刻。
又称
另见