高等群论
换位子群
每个群都有一个对“有多不交换”的精确度量，被打包进单个子群。换位子群收集所有交换性的失败——形如 ghg^{-1}h^{-1} 的元素，它们若一切可交换便会是单位元。恰好用这个子群把群压碎，便产生该群最佳的阿贝尔近似。
形式地，g 与 h 的换位子是 [g, h] = g h g^{-1} h^{-1}，而换位子群（或导群）G' = [G, G] 是由所有这种换位子生成的子群。它是正规——实则特征——子群，且商 G/G' 交换。关键在于 G' 是具有交换商的最小正规子群：G/N 交换当且仅当 N 包含 G'。因此 G/G' 称为 G 的阿贝尔化，记作 G^{ab}。
阿贝尔化是泛的交换商：从 G 到任一交换群的每个同态都唯一地经过 G^{ab} 分解。迭代这一构造——G，然后 G'，再 G'' = (G')'，依此类推——给出导出列，其终于平凡群正是可解性的定义。一个小提醒：换位子群由换位子生成，但未必只由换位子组成；在某些群里，换位子之积本身未必是单个换位子。
对 n ≥ 2 的 S_n，换位子群是交错群 A_n，故阿贝尔化 S_n^{ab} 是 Z/2Z——只记录置换的符号。对 n 为奇数的非交换二面体群 D_n，换位子群是整个旋转子群，阿贝尔化是 Z/2Z。
S_n 的换位子群是 A_n；其阿贝尔化是 Z/2Z。
又称
另见