第一上同调
第一上同调群回答：给定一个群作用在某物上，能以多少种本质不同的方式去扭动一个不动点，使它不再被固定、却仍与作用相容？当作用平凡时这些扭动不过是同态；当作用非平凡时它们是更微妙的扭同态。H^1 把它们全部组织起来，并在丢弃那些由环境模免费产生的扭动之后。
对群 G 与 G 模 A，第一上同调群为 H^1(G, A) = Z^1(G, A) / B^1(G, A)。这里 Z^1 由交叉同态（1 阶上闭链）构成：满足 f(gh) = f(g) + g·f(h) 的函数 f : G -> A。子群 B^1 由主交叉同态构成：形如 f(g) = g·a - a 的那些，其中 a 属于 A。故 H^1(G, A) 即交叉同态模主交叉同态。若 G 平凡地作用在 A 上，则化简为 H^1(G, A) = Hom(G, A)。
在几何与算术上，H^1 分类对象：对非阿贝尔的 A，可定义一个带基点的集合 H^1(G, A)，分类 A 下的主齐性空间（挠子），这是下降理论与扭形式分类背后的引擎。一个核心工具是长正合序列：G 模的短正合序列 0 -> A -> B -> C -> 0 给出 ... -> B^G -> C^G -> H^1(G, A) -> H^1(G, B) -> ...，把不动点不能满射这一失败转化为一个具体的 H^1 类。
对 G = Z/2Z = {1, σ} 通过 σ·a = -a 作用在 A = Z 上，一个交叉同态由 f(σ) = m 决定，约束 f(σ^2) = f(1) = 0 迫使 m + σ·m = m - m = 0 自动成立；上边缘为 f(σ) = σ·a - a = -2a。故 H^1(Z/2Z, Z) = Z / 2Z = Z/2Z。
一个直接由上闭链模上边缘算出的小 H^1。
希尔伯特定理 90 即：对有限扩张 L/K 的伽罗瓦群 G 作用在乘法群 L^* 上，有 H^1(G, L^*) = 0。这一第一上同调群的消没，是整个代数中最具影响的计算之一。