上边缘

上边缘是一种因无聊的理由而平凡的上闭链：它由低一阶的数据自动制造出来，本身没有真正的内容。如果说上闭链记录一项测量，那么上边缘记录的测量完全是你设置坐标方式的产物——改一改记账方法它就消失了。上同调恰恰就是把所有这类产物丢弃、只保留任何坐标变换都抹不去的上闭链的操作。

形式地说，对上链 G^n -> A 上的上边界算子 d，一个 n 阶上边缘是形如 d(c) 的上链，其中 c 是 n-1 阶上链。n 阶上边缘之集为 B^n(G, A) = im(d : C^{n-1} -> C^n)。由于 d^2 = 0，每个上边缘都是上闭链，故 B^n 是 Z^n 的子群，第 n 个上同调群即商 H^n(G, A) = Z^n / B^n。一个上闭链是上边缘，当且仅当它在 H^n 中的类为零。

在 1 次，主交叉同态即上边缘：f(g) = g·a - a，其中 a 是 A 中某固定元。在 2 次，上边缘恰是来自可裂扩张（即等价于半直积的扩张）的因子组。因此，当两个上闭链相差一个上边缘时便判它们等价，并非任意约定——它恰好把描述同一底层对象、仅差一次无害重新参数化的上闭链等同起来。