上闭链

上闭链是一个服从严格到足以拥有名字的相容规则的函数。设想你为每一步赋予一个修正量，使得无论沿哪条步骤路径前进，累积的修正都彼此吻合。强制这种路径无关性的闭合条件，正是上闭链方程。上闭链是上同调类的候选者：它满足规则，但它究竟是真正新的还是暗中平凡的，则是另一个由上边缘回答的问题。

在群上同调中，一个（正规化的、非齐次的）n 阶上链是取值于 G 模 A 的函数 f : G^n -> A。上边界算子 d 通过一个把 G 的作用与 f 各位置混合起来的交错求和公式，将 n 阶上链送为 n+1 阶上链。n 阶上闭链是满足 df = 0 的上链 f；n 阶上闭链之集记作 Z^n(G, A)，构成全体上链的子群。由于 d^2 = 0，每个上边缘都是上闭链，但反之不然。

上同调群是商 H^n(G, A) = Z^n(G, A) / B^n(G, A)，故一个上闭链确定一个上同调类，且两个上闭链给出同一类当且仅当它们相差一个上边缘。对 n = 1，上闭链条件读作 f(gh) = f(g) + g·f(h)，即交叉同态律；对 n = 2，它是群扩张的因子组所满足的结合律型恒等式。在拓扑与层论中“上闭链”一词用法完全相同——同样的闭合规则，不同的上链。