群上同调

设群 G 作用在一个阿贝尔群 A 上，而你只关心被 G 完全固定不动的那些元素——不动点。取不动点是个干净的操作，却会丢信息：两种不同的情形可以有相同的不动点，却在 G 如何扭动其余一切上有所不同。群上同调就是对这些丢失信息的系统记录。第零层不过就是不动点；更高的层以越来越微妙的方式，度量那些单凭不动点看不见的阻碍与扭动。

确切地说，设 G 是群，A 是一个 G 模——一个 G 以自同构方式作用其上的阿贝尔群，等价地即群环 Z[G] 上的模。不动点函子 A |-> A^G = { a 属于 A : 对所有 g 有 g·a = a } 是左正合而非正合的，故有右导出函子。它在 A 处的第 n 个右导出函子即第 n 个上同调群 H^n(G, A)，其中 H^0(G, A) = A^G。具体地，H^n(G, A) 是由 Z[G] 上 Z 的一个自由分解（最常用的是条形分解）所得的、由函数 G^n -> A 构成的上链复形的上同调。

低次群有著名的含义：H^1(G, A) 在差一个主元的意义下分类交叉同态（对非阿贝尔的 A，则分类挠子或扭形式），而 H^2(G, A) 则在给定作用下分类 G 关于 A 的扩张。更高的 H^n 编码提升与黏合问题的阻碍。等价且内禀地，H^n(G, A) 等于 Z[G] 上平凡模 Z 与 A 的 Ext^n，这正是为何所有标准的同调机器——长正合序列、维数移位、导出函子——都原封不动地适用。