导出函子

许多自然函子只正合一半：它们保持短正合序列的一端，却破坏另一端。导出函子正是对这种失败的精确而系统的度量。与其哀叹某个函子无法保持正合，不如把它产生的全部误差项记录下来，组织成一座新函子之塔，使它们合在一起重新恢复一条正合序列——即长正合序列——并编码深刻的结构信息。

具体地说，设 F 是模范畴（或有足够多内射对象的阿贝尔范畴）之间的左正合加性函子。要计算它在模 M 处的右导出函子 R^n F，取内射分解 0 -> M -> I^0 -> I^1 -> ...，删去 M，施加 F 得到上链复形 F(I^0) -> F(I^1) -> ...，并令 R^n F(M) 为该复形的 H^n。则 R^0 F = F，且模的短正合序列诱导导出函子的长正合序列。对偶地，右正合函子 G 有左导出函子 L_n G，由投射分解计算，L_0 G = G。

关键在于：导出函子不依赖分解的选取（任意两个都同伦等价），且当函子本已正合时它们在正次数处恰好消失。经典例子是 Ext（导出 Hom）与 Tor（导出张量积）。层上同调、群上同调与伽罗瓦上同调全都是合适左正合函子的导出函子，这正是它们共享同一套长正合序列与连接映射的形式机器的原因。