内射分解

内射分解是投射分解的镜像：它不再用投射模从下方逼近一个模，而是用内射模从上方逼近它。内射模是这样一类模：映射可以延拓进入它们——它们足够宽敞，任何映入其中的部分映射总能被补全。把一个模嵌入由这类模构成的长正合链，便得到一件极适合那些（与 Hom-入相反）在右侧表现良好的函子的工具。

形式地说，R 模 M 的内射分解是一条正合序列 0 -> M -> I^0 -> I^1 -> I^2 -> ...，其中每个 I^j 都是内射模。它们总是存在，因为每个模都嵌入某个内射模（模范畴有足够多的内射对象）。舍去 M，上链复形 0 -> I^0 -> I^1 -> ... 在次数 0 处上同调为 M，别处为零，充当 M 的对偶替身。

与投射分解相同，M 的任意两个内射分解都是链同伦等价的，故施加函子再取上同调给出良定的结果。这正是计算右导出函子的方式：第二变元上的 Ext、层上同调与群上同调，都来自对内射分解施加左正合函子后所取的上同调。M 的内射维数是这种分解的最小长度。