内射模

内射模是投射模的镜像：它不是沿满射提升映射，而是沿单射延拓映射。可以把它想成一个对扩大定义域没有任何障碍的模——只要你有一个定义在子模上的映射，想把它延拓到整个模上，一个内射的目标就让你做到。它是一个『完备』或『足够可除』、东西总能被推入的模。

形式地说，R-模 E 是内射的，如果对每个单射 i : A -> B 与每个映射 f : A -> E，存在 g : B -> E 使 g∘i = f。由贝尔判别法，只需对左理想到 R 的包含验证此性质：E 内射当且仅当每个从左理想 I 到 E 的 R-同态都延拓到 R -> E。等价地，函子 Hom(-, E) 是正合的，且 E 是含它的每个模的直和项。

在 Z 上（更一般地在主理想整环上），内射等同于可除：阿贝尔群内射当且仅当对每个元素 x 与每个非零整数 n 都存在 y 使 ny = x。于是 Q 与 Q/Z 是内射的 Z-模，而 Z 本身不是。每个模都嵌入某个内射模中（内射包络是其中最小者），这正是使内射分解与右导出函子 Ext 得以存在的原因。