投射模

投射模是几乎自由的模——在要紧的用途上自由得足够了。最干净的描述是：它是自由模的一个直和项，一块能干净地分裂出来的部分。这名字来自一个提升性质：从投射模出发的映射总能沿任何满射被『投射上去』，就像幻灯片透出的光能重新聚焦到选定的平面上。

对 R-模 P 有三种等价定义：(i) P 是某个自由模的直和项，即存在 Q 使 P ⊕ Q 自由；(ii) 每个映到 P 的满射都分裂，所以 P 是任何映满到它的模的直和项；(iii) 提升性质：对每个满射 g : M -> N 与每个映射 f : P -> N，存在提升 h : P -> M 使 g∘h = f。等价地，函子 Hom(P, -) 是正合的。

自由蕴含投射，而在许多环上逆命题也成立——在主理想整环、局部环、或域上的多项式环（奎伦–苏斯林定理）上，每个有限生成投射模都是自由的。但并非总是如此：在 Z/6Z 上理想 2Z/6Z 是投射的却非自由；在数域的整数环上，非主理想是投射且非自由的，它们不自由的程度由理想类群度量。