分裂正合序列

分裂正合序列是这样一种短正合序列：其中间的模干净地拆成两端——扩张是平凡的。分裂是最好的结局：子模 A 在 B 中有补，于是 B 不过是把 A 与 C 并排放置，拼装过程中没有任何东西被拧在一起。

短正合序列 0 -> A -i-> B -p-> C -> 0 分裂，如果下列等价条件之一成立：存在收缩 r : B -> A 使 r∘i 等于 A 上的恒等；存在截面 s : C -> B 使 p∘s 等于 C 上的恒等；或 B 是 i(A) 与一个补子模的内直和。每种情形下都有 B ≅ A ⊕ C，且该同构与映射 i 和 p 相容（分裂引理）。

在某些情形下分裂是自动的：任何以投射模结尾的短正合序列都分裂（用提升性质构造截面），任何以内射模开头的序列也分裂。在域上，向量空间的每个短正合序列都分裂——子空间总有补——这恰恰解释了为何线性代数比模论简单得多。