域上的向量空间

向量空间是一些可以相加、也可以放大或缩小的对象的集合。“缩放”由取自某个固定域的数完成，这些数称为标量。想想平面上的箭头：你可以把两个箭头首尾相接地相加，也可以用任意实数把一个箭头拉长或缩短。平面就是实数上的一个向量空间。

确切地说，域 K 上的向量空间是一个集合 V，配有向量的加法以及向量与 K 中标量的乘法，满足自然的规则（加法可交换、可结合，有零向量与负元；缩放对加法满足分配律，并与域的乘法相容）。每个这样的空间都有维数：一组基（极小生成集）中向量的个数。

在伽罗瓦理论中，这就是那把卷尺。任何域扩张 L/K 都可以看成 K 上的向量空间：你可以把 L 中的元素相加，并用 K 中的元素去乘它们。它作为 K-向量空间的维数就是扩张的次数，记作 [L : K]——这个确切的数量化了 L 比 K 大了多少。