近世代数：伽罗瓦理论及其拓展
极小多项式
如果一个数在某个域上是代数的，可能有许多多项式以它为根——但在所有这些多项式中，存在一个最简单、最精炼的，恰好刻画了它。这就是它的极小多项式：以它为根、首项系数为 1（首一）、系数取自基域的最低次多项式。可以把它看作这个数的代数指纹。
确切地说，对在 K 上代数的元素 a，它的极小多项式是 K[x] 中满足 m(a) = 0 的次数最低的唯一首一多项式 m(x)。两个关键事实：它在 K 上不可约（不能在 K 上分解为更低次多项式的乘积），并且它整除 K 上每一个以 a 为根的多项式。正是这种整除性使它“极小”。
极小多项式的次数等于单扩张 K(a)/K 的次数——也就是 K(a) 作为 K 上向量空间的维数。所以这一个多项式同时告诉你 a 满足的不可约方程，以及添加 a 后域恰好变大了多少。
虚数单位 i 在实数上的极小多项式是 x^2 + 1：它是首一的，以 i 为根（i^2 + 1 = 0），在 R 上不可约，且没有任何 1 次实系数多项式能以 i 为根。
x^2 + 1 是 i 在 R 上的极小多项式。
同一个元素在不同的基域上可以有不同的极小多项式。在有理数上，sqrt(2) 的极小多项式是 x^2 - 2；而在实数上（sqrt(2) 已经在其中），它的极小多项式只是 x - sqrt(2)。
又称
另见