不可约多项式

正如质数 7 无法拆成更小的整数因数,不可约多项式也无法在你被允许使用的数系内拆成若干个次数更低的多项式之积。它是因式分解的死胡同,认出它就意味着停止搜索、改用别的工具。

关键短语是「在给定数系内」,因为是否不可约取决于你允许使用哪些数。例如 x^2 - 2 在有理数范围内不可约(不存在有理分解),但在实数范围内可分解为 (x - sqrt(2))(x + sqrt(2))。同样,x^2 + 1 在实数范围内不可约,却能在复数范围内分解为 (x + i)(x - i)。所以「不可约」总是相对于某个范围而言。

在普通代数课里,说一个二次三项式不可约,通常指它没有整数(或有理数)系数的分解——等价地说,它的判别式不是完全平方数。这正是你该改用求根公式或配方法去求它的无理根或复根的信号。