分裂域

取一个在你的域上拒绝完全分解的多项式——也许它在那里根本没有根。分裂域就是这个域的最小扩大，在其中该多项式终于彻底裂开为一次因式的乘积，使它的所有根都变得可用。你恰好造出所需的余地，不多不少。

确切地说，给定系数在域 K 中的多项式 f(x)，f 在 K 上的分裂域是一个扩张 L，在其中 f 分解为一次因式的乘积（即“分裂”），并且 L 由 f 的根在 K 上生成——也就是说 L 是最小的这样的域。在同构意义下这个最小域是唯一的，所以我们可以谈“那个”分裂域。

分裂域是伽罗瓦理论真正的起点：分裂域中根的对称性构成伽罗瓦群。由于该域由根生成且包含全部根，这些对称性把根彼此置换，研究这种置换作用正是该理论提取多项式信息的方式。