域扩张

设想你手头只有有理数，却很想写下 sqrt(2)，可它并不在有理数里。于是你构造一个更大的数系，包含全部有理数，再加上 sqrt(2) 以及由它们经过加、减、乘、除所能得到的一切。这个更大的数系就是有理数域的一个域扩张：一个把你原来的域原封不动地装在里面的更大的域。

严格地说，若 K 是一个域，而更大的域 L 包含 K（且加法、乘法相同），就称 L 是 K 的域扩张，常记作 L/K（读作“L 在 K 之上”——这并不是除法）。K 称为基域，L 称为扩域。关键在于 L 给了你余地，去求解那些 K 中无法求解的方程，或容纳 K 中没有的数。

域扩张是伽罗瓦理论的核心对象。通过衡量 L 比 K 大了多少，以及 L 拥有哪些保持 K 不动的对称性，我们就把关于方程的问题转化为关于群的问题。后面几乎所有内容都是这一个想法的精细化：先把域扩大，再研究这次扩大。