短正合序列

短正合序列是把子模、模与相应商之间的关系打包进单个图表的最干净方式。它表达的是：这里有一个子对象 A 坐落在 B 之中，而 C 恰好是你把 A 压缩掉之后剩下的。某种意义上，整个模论就是研究 B 如何由 A 与 C 这两块拼装而成。

形式地说，它是 R-模与同态构成的图表 0 -> A -> B -> C -> 0，在每个位置都正合：映射 A -> B 是单射，映射 B -> C 是满射，且 A -> B 的像等于 B -> C 的核。于是 A（同构地）是 B 的子模，而 C 同构于商 B/A。反之，B 的每个子模 A 都给出这样一个序列，其中 C = B/A。

这套形式的要点在于：B 是 C 被 A 的一个『扩张』，而知道 A 与 C 并不能确定 B：相同的两端可以用本质不同的方式拼装。有多少种方式、如何分类，由群 Ext(C, A) 度量。当唯一的扩张就是平凡的 B = A ⊕ C 时，序列分裂；一般情形未必如此，而一般扩张与分裂扩张之间的差距正是同调代数的起点。