商模

商模是这样得到的：你决定把整个子模当作零来看待，再问还剩下什么。任何相差一个子模中元素的两个元素都被粘在一起；剩下的等同关系构成一个新的、通常更小的模。它是从 Z 造出 Z/nZ、商群或商环的模版本。

具体地说，设 N 是 R-模 M 的子模。陪集 m + N 把 M 分成若干块，它们继承运算 (m + N) + (m' + N) = (m + m') + N 与 r(m + N) = rm + N。这些之所以良定，恰恰因为 N 对加法与标量乘法封闭，所得的 R-模记作 M/N。映射 m |-> m + N 是一个满的 R-模同态 M -> M/N，其核恰好是 N。

商模是每个短正合序列的右端，也是同构定理的引擎：若 f : M -> M' 是同态，则 M/ker(f) 同构于 f 的像。过渡到商是在保持模结构的同时消去多余元素的标准方法——例如 M/(零化部分) 或 M/(挠) 能分离出更干净的片段。