同构定理

当你用同态压缩一个代数对象的一部分时，被抹去的部分（核）与被保留的部分（像）紧密相连。同构定理就是一再告诉你“源对象模去被抹去的东西等于像”的精确规则。它们是商对象的基本语法。

共有三条，此处对群陈述（对模、环等有类比）。第一：若 f : G -> H 是同态，则 G / ker(f) 同构于 im(f)。第二（菱形定理）：对 G 的子群 A 与正规子群 N，AN/N 同构于 A/(A ∩ N)。第三（对应/商定理）：对 G 的正规子群 N ⊆ M，(G/N)/(M/N) 同构于 G/M，且包含 N 的 G 的子群与 G/N 的子群之间存在保持包含关系的双射。

这些定理让你无需亲手构造便能与商对象计算：要辨认 G/N，只需找一个以 N 为核的从 G 出发的同态，再读出其像。它们与其说深刻，不如说基础——从约当-赫尔德定理到模理论，几乎每个后续结构论证都是它们的有组织的应用。一个诚实的提醒在于记账：第二与第三定理要求所涉子群在陈述处确为正规，忘记这点是常见错误之源。