同调代数
Ext 函子
Ext 是把 Hom 函子推过导出函子机器所得之物——而它的第一个群回答了一个绝妙具体的问题：一个模能由两个给定的模以多少种本质不同的方式拼装出来？Hom(A, B) 只看见直接的映射；Ext^1(A, B) 则看见隐藏的扩张，即 A 与 B 被粘成一个并非二者直和的中间模的种种方式。
形式地说，对 R 模 A 与 B，Ext^n(A, B) 是 Hom(-, B) 在 A 处的第 n 个右导出函子：取 A 的投射分解 P_* -> A，施加 Hom(-, B) 得到上链复形，读取其上同调。（等价地，也可用 B 的内射分解导出 Hom(A, -)；二者一致。）则 Ext^0(A, B) = Hom(A, B)，而 Ext^n 对所有 n > 0 消失，当且仅当 A 投射（或 B 内射）。
Ext^1 的解释是问题的核心：Ext^1(A, B) 中的元素与短正合序列 0 -> B -> E -> A -> 0 的等价类一一对应，其零元即分裂扩张 E = A ⊕ B。这正是 Ext 之所以分类扩张并探测障碍的原因：非零类就是一种真正的、不分裂的构造 E 的方式。更高阶的 Ext 群支配障碍理论，并贯穿形变理论以及群与代数的上同调。
在 Z 上，Ext^1(Z/nZ, Z) ≅ Z/nZ。用 0 -> Z -> Z -> Z/nZ -> 0 分解 Z/nZ 并施加 Hom(-, Z)，得到 Z -> Z（乘以 n）；其余核 Z/nZ 即 Ext^1。非零类记录了 Z/nZ 被 Z 的不分裂扩张。
由自由分解算出的 Ext^1(Z/nZ, Z)。
另见