群扩张

群扩张是由两块更简单的部件拼成的群：一个嵌在内部的正规子群，与对它取商后置于其上的商群。可把它想成一座两层楼：一楼是正规子群 N，二楼是商 Q；楼 E 同时含有二者，但仅知两层楼本身并不告诉你楼梯如何把它们连起来。这种连接数据——作用与扭动——正是扩张理论丰富之所在。

形式地说，群 Q 关于群 N 的扩张是一个短正合序列 1 -> N -> E -> Q -> 1，意即 N（同构于）E 的正规子群，而 Q（同构于）商 E/N。选取一个集合论意义的截面 s : Q -> E（商映射将其抵消），便可把 E 的乘法搬运成 N × Q 上的数据：Q 在 N 上的共轭作用（在内自同构意义下良定），以及当 N 阿贝尔时，度量 s 不是同态的程度的因子组。

当 N 阿贝尔时，诱导 Q 在 N 上固定作用的扩张在等价意义下由第二上同调群 H^2(Q, N) 分类；可裂扩张（具有同态截面者）构成零类，恰是半直积。对非阿贝尔的 N，分类更为微妙：一个作用未必能提升为真正的扩张，其阻碍位于 H^3(Q, Z(N)) 之中。于是扩张理论把关于群的结构问题翻译成同调代数。