第二上同调
假设你想用一个正规子群 A 与一个商 Q 造出更大的群，并已知 Q 如何作用在 A 上。把它们黏合起来的方式可能有许多种互不同构，也可能一种都没有，若黏合数据自相矛盾。第二上同调群正是这些可能性的精确账本：每种黏合是一个 2 阶上闭链，产生等价群的两种黏合相差一个 2 阶上边缘，而零类即那个显然的黏合——半直积。
对群 Q 与 Q 模 A，H^2(Q, A) = Z^2(Q, A) / B^2(Q, A)。一个 2 阶上闭链是满足恒等式 g·f(h, k) - f(gh, k) + f(g, hk) - f(g, h) = 0 的函数 f : Q^2 -> A（因子组），该恒等式恰是在 A × Q 上以扭乘法定义群运算所需的结合律约束。上边缘对应于重新参数化所选取的扩张截面。其结果在等价意义下分类诱导给定作用的扩张 1 -> A -> E -> Q -> 1。
更一般地，H^2 是贯穿代数的阻碍群：它掌控部分结构何时能被补全（例如提升一个同态、形变一个代数，或实现一个布饶尔类）。在伽罗瓦上同调中，H^2(Gal(L/K), L^*) 嵌入布饶尔群，分类被 L 分裂的中心单代数。同一个 H^2 还判定一个射影表示能否提升为真正的线性表示，其阻碍是 H^2(Q, C^*) 中的一个类。
取 Q = Z/2Z 平凡地作用在 A = Z/2Z 上，可得 H^2(Z/2Z, Z/2Z) = Z/2Z。非零类由扩张 1 -> Z/2Z -> Z/4Z -> Z/2Z -> 1 实现，其不可裂性（Z/4Z 不是 Z/2Z × Z/2Z）正是那个非平凡上同调类。
Z/4Z 与克莱因四元群之别：相同的 Q 与 A，两个扩张类。
H^2 的零类对应可裂扩张（半直积）；非零类意味着没有任何截面是同态，故扩张是真正扭曲的。这正是为何 H^2(Q, A) = 0 迫使带该作用的每个扩张都可裂。