中心扩张

中心扩张是最简单的有趣群扩张：其内部部件与一切都可交换。商完全不扭动子群——然而扩张仍可非平凡，因为即便没有作用，两部件黏合的方式也可能不构成直积。这类扩张是旋量群、海森堡群与射影表示等现象的栖身之所。

扩张 1 -> A -> E -> Q -> 1 称为中心的，若 A 的像位于中间群的中心 Z(E) 内，这迫使 A 阿贝尔且 Q 在 A 上诱导的作用平凡。由于作用平凡，此类扩张由以平凡作用计算的 H^2(Q, A) 分类。零类是直积 A × Q；非零类给出一个尽管 A 是中心却并非直积的群。

群 G 关于阿贝尔群的中心扩张由舒尔乘子 H_2(G, Z) 掌控：当 G 完全（G = [G, G]）时存在一个泛中心扩张，其核恰是舒尔乘子。在物理与李理论中，中心扩张解释了为何对称性只在差一相位的意义下作用于量子态——Q 的一个射影表示，正是 Q 关于圆群的某中心扩张的真正表示，其阻碍位于 H^2(Q, C^*)。