群表示

设想你手上有一个抽象的群——比如三角形的对称群——并且想用它来做计算。最干净的办法是把每个对称变成一个具体的矩阵，使得复合对称对应于矩阵相乘。表示恰好就是这样一部忠于结构的“词典”：它让你把抽象的群元素替换成真正能计算的线性映射。

确切地说，群 G 在域 k 上向量空间 V 上的一个表示，是一个群同态 rho，从 G 到 GL(V)，即 V 上可逆线性映射构成的群。等价地，它是 G 通过线性变换在 V 上的作用：每个 g 给出映射 rho(g)，满足 rho(g)rho(h) = rho(gh) 且 rho(e) 为恒等映射。V 的维数称为该表示的次数（或维数）。当 V 是有限维 n 并固定一组基时，rho 成为同态 G -> GL(n, k)，即一族 n 乘 n 的可逆矩阵。

一个表示与群代数 k[G] 上的一个模是同一份数据：形式和 sum a_g g 在向量 v 上的作用就是 sum a_g rho(g)v。这一翻译并非纯粹换记号——它让模论的整套机器（子模、商、直和、半单性）作用到表示上。当存在一个可逆线性映射交织两个作用，即一次基变换把一族矩阵搬成另一族时，称这两个表示等价（同构）。