不可约表示

不可约表示是表示论的原子。正如每个整数分解成素数，在良好情形下每个表示都分解成不可约的碎片；理解原子就意味着理解由它们搭建出的一切。不可约表示是指在尊重群作用的前提下无法再被切小的表示。

正式地，G 的表示 V 称为不可约（或单的），若 V 非零且其唯一的 G 不变子空间只有 0 与 V 本身。所谓 G 不变子空间 W，是指对所有 g 都有 rho(g)W 含于 W——即 W 被每个群元素保持。等价地，V 不可约当且仅当它是群代数 k[G] 上的单模：它没有非零真子模。

一个表示是否不可约强烈依赖于域。正 n 边形旋转群的标准二维实表示在 R 上是不可约的（没有实的不变直线），但在 C 上变为可约，分裂成两条复直线。所以不可约性是关于 V 连同 k 的论断，绝非仅关乎抽象群本身。