舒尔引理

舒尔引理是一句看似短小却效力巨大的论断：它说不可约表示极其刚硬。它们之间几乎没有 G 等变映射——除了显然的零映射，除非两个不可约表示其实相同；而从不可约表示到自身的等变映射只有乏味的标量。正是这种刚性使特征标能区分表示，并把眼前的一切对角化。

陈述：设 V 与 W 是 G 的不可约表示，f: V -> W 为 G 等变映射（交织子，即对所有 g 有 f rho_V(g) = rho_W(g) f）。则 f 要么为零，要么是同构。特别地，若 V 与 W 不同构，唯一的交织子是 0。此外，若基域代数闭，则每个交织子 f: V -> V 都是恒等的标量倍，因为 f 有特征值 lambda，而 f - lambda*I 是不可逆的交织子，故为零。

第二部分中代数闭的假设至关重要：在 R 上，循环群按角 theta 旋转的表示不可约，但其自同态环是复数 C 而非仅 R——存在非标量的交织子（旋转 90 度）。所以“自同态都是标量”仅在代数闭域上逐字成立；一般地，自同态环是 k 上的一个可除代数。