正交关系

正交关系说：有限群的不可约特征标，作为数构成的向量，在一个自然内积下两两垂直且长度为一。这一条几何事实把表示的杂乱记账化为干净的线性代数：要检验不可约、要分解一个表示、或要数某个不可约表示出现的份数，只需取内积。

在 G 的复值类函数上定义厄米内积 (a, b) = (1/|G|) 对 g 属于 G 求和 a(g) 乘以 b(g) 的复共轭。第一正交关系（行正交）说不可约特征标 chi_i 满足 (chi_i, chi_j) 在 i = j 时为 1、否则为 0——它们构成标准正交系，实为类函数空间的一组标准正交基。第二正交关系（列正交）是特征标表各列上的对偶陈述：对所有不可约表示求和 chi_i(g) 乘以 chi_i(h) 的共轭，当 g 与 h 共轭时得 |C_G(g)|，否则为 0。

这些关系源自把舒尔引理用于不可约表示间的平均交织子，再以特征标恒等式取得最干净的形态。其后果无处不在：在特征标为 psi 的表示中，不可约 chi_i 的重数恰为 (psi, chi_i)；一个类函数是某个真表示的特征标当且仅当它是 chi_i 的非负整数组合；而 (psi, psi) = 1 刻画不可约性。