特征标表

特征标表是有限群复表示论的紧凑数据表——一张方格，一次性编码全部不可约特征标。读懂它有如读懂元素周期表：一小片数字，却能从中复原出惊人之多的群结构。

对复数上的有限群 G，特征标表是这样的方阵：各行以不可约特征标 chi_1, ..., chi_r 标号，各列以共轭类 C_1, ..., C_r 标号；第 i 行第 j 列的元是 chi_i(g_j)，其中 g_j 是类 C_j 的代表元。表为方阵，正因为不可约表示的个数等于共轭类的个数。首行是平凡特征标（全为 1），首列列出各特征标的次数 chi_i(e)。

特征标表受正交关系支配：在以类大小加权的内积下，各行标准正交（行正交），各列也正交（列正交）。这些约束连同“次数平方和等于 |G|”的法则，往往单凭算术就把整张表确定下来。然而表并不决定群：八阶的二面体群 D_8 与四元数群 Q_8 拥有完全相同的特征标表。