类函数

类函数是群上无法区分共轭元素的函数——它对 g 与 hgh^{-1} 给出相同的值。这类函数恰是在最深的意义上“尊重对称”的函数，而特征标正是其典范例子。类函数空间是整个特征标理论展开的自然舞台。

正式地，取值于域 k（通常为 C）的 G 上类函数，是在共轭类上取常值的函数 f: G -> k：对所有 g, h 属于 G 有 f(hgh^{-1}) = f(g)。等价地，f 是 G 的共轭类集上的函数。对有限群，C 上的类函数构成一个向量空间，其维数等于共轭类的个数，自然基由各类的指示函数给出。

核心定理是：不可约特征标构成此类函数空间的一组标准正交基（在 C 上，对有限 G）。于是每个类函数都是不可约特征标的唯一线性组合；其中系数为非负整数的组合，恰是真表示的特征标（当允许系数为负整数时称虚特征标）。这正是特征标理论把表示问题化为有限维线性代数的缘由。