特征标

特征标是把整个表示压缩成群上单一函数的巧妙手法，做法是取每个矩阵的迹。它看似把几乎一切都丢掉了——一个矩阵缩成一个数——然而奇迹般地，在复数上特征标记住了整个表示（直到同构）。它是表示的指纹。

给定 G 的有限维表示 (V, rho)，其特征标是函数 chi: G -> k，定义为 chi(g) = trace(rho(g))。两点立见：chi(e) 等于 V 的维数；又因迹在共轭下不变，chi 是类函数——chi(hgh^{-1}) = chi(g)，故只依赖于共轭类。等价的表示有相等的特征标，因为迹是相似不变量。

在 C 上特征标威力惊人：两个复表示同构当且仅当它们有相同的特征标；一个表示不可约当且仅当其特征标与自身的内积等于 1；且不可约特征标构成类函数空间的一组标准正交基。于是特征标把关于表示的难题化为有限维内积空间上的线性代数。