中心化子

固定群中一个元素，问：哪些其他元素与它交换——即不在乎相乘的次序？所有这种“合作”元素构成它的中心化子。它衡量所选元素有多“中心”：中心化子越大，群中越多元素在乘积里把这个元素视为可交换的。

形式地，元素 a 在 G 中的中心化子为 C_G(a) = { g 属于 G : ga = ag }；更一般地，子集 S 的中心化子为 C_G(S) = { g 属于 G : 对所有 s 属于 S 有 gs = sg }。每个中心化子都是 G 的子群。整个群的中心化子即中心 Z(G)，由与所有元素交换的元素组成。

中心化子支配共轭：C_G(a) 恰是 a 在共轭作用下的稳定子，故由轨道-稳定子定理 a 的共轭类大小为 [G : C_G(a)]。于是中心化子大意味着类小，反之亦然。中心化子在有限群结构理论中也无处不在——例如在有限单群中，一个对合的中心化子携带巨量结构信息，这正是分类定理的核心事实之一。