正规化子

给定坐落在更大群里的一个子群，你可能想把周围扩大，直到该子群变成正规的——即在周围一切元素的共轭下不变。正规化子就是这种最大的周围：使所选子群正规的最大子群。

形式地，对 G 的子群 H，正规化子为 N_G(H) = { g 属于 G : g H g^{-1} = H }。它是 G 中包含 H 的子群，且按构造 H 在 N_G(H) 中正规；而且 N_G(H) 是 G 中具此性质的最大子群。注意它与中心化子的区别：正规化子只要求共轭把集合 H 整体送回自身，并不要求逐个固定每个元素，故 C_G(H) 始终包含于 N_G(H)。

正规化子组织起一个子群与群其余部分的相互作用。由作用在子群上的共轭作用应用轨道-稳定子定理，H 的共轭子群个数等于 [G : N_G(H)]，故自正规子群（N_G(H) = H）拥有可能最多的共轭子群个数。尤其是 Sylow 子群的正规化子，对 Sylow 理论及整个有限群论中的计数论证至关重要。