态射

态射是“箭头”的范畴论说法——是“从一物到另一物、保持结构的映射”这一观念的抽象。在熟悉的范畴里，态射的确是某种函数（同态、连续映射、线性映射），但范畴论的立场是把它当作原始概念：态射根本不必是底层元素上的函数。唯一固定的是，每个态射 f 都有一个源对象（定义域）和一个目标对象（陪域），记作 f : A -> B。

若干形容词纯粹依据态射如何复合来分类，而不依据任何内部信息。态射 f : A -> B 称为单态射，若它左可消去：f ∘ g = f ∘ h 迫使 g = h；称为满态射，若它右可消去：g ∘ f = h ∘ f 迫使 g = h；称为同构，若它有双侧逆 g 满足 g ∘ f = id_A 且 f ∘ g = id_B。从 A 到 A 的态射称为自同态，可逆的自同态称为自同构。

一个常见陷阱：在 Set 中，单态射意味着单射，满态射意味着满射，二者兼备即为同构。但最后这一蕴涵在一般范畴里失效。在环范畴中，包含映射 Z -> Q 既是单态射又是满态射，却不是同构。所以在不够良好的设置之外，“既单又满”严格弱于“同构”，这三个形容词必须在概念上分清。