范畴

可以把范畴想象成一个数学世界，连同允许在其居民之间移动的映射。居民就是“对象”（集合、群、空间、模），箭头则是“态射”（函数、同态、连续映射）。范畴论做了一个有意为之的赌注：关于一个对象，真正要紧的并非其内部构造，而是它如何通过箭头与其余一切发生关系。只谈对象与箭头这一约束，竟能一次性刻画遍布整个数学的各种构造。

形式地说，一个范畴 C 由一族对象组成，并且对每一对有序对象 (A, B) 配有一族态射 Hom(A, B)。还有一个复合运算：给定 f 属于 Hom(A, B) 与 g 属于 Hom(B, C)，便得到 g ∘ f 属于 Hom(A, C)。须满足两条公理：复合满足结合律，只要有定义就有 h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f；且每个对象 A 都有一个恒等态射 id_A 属于 Hom(A, A)，作为双侧单位元，f ∘ id_A = f 且 id_B ∘ f = f。

一个值得点明的微妙之处：对象的“族”可能大到不再是一个集合（所有集合的对象不构成一个集合）。若一个范畴的对象与态射各自构成集合，就称为小范畴；若每个 Hom(A, B) 都是集合（即便对象总体不是），就称为局部小范畴。多数常用范畴——Set、Grp、Ring、Top、Vect——都是局部小但非小，这正是为何在如米田引理这类谨慎陈述中会出现大小之分。