偏序集

偏序集刻画了“有些东西先于另一些，但并非一切都可比”的想法。整数间的整除是一幅完美的图景：2 整除 6、3 整除 6，但 2 与 3 不可比——彼此互不整除。“偏”字正是要害：不同于数轴上任意两数皆可排序，这里某些对干脆不被排序。

严格地说，偏序集（poset）是一对 (P, ≤)，其中 ≤ 是 P 上一个自反（a ≤ a）、反对称（a ≤ b 且 b ≤ a 蕴含 a = b）、传递（a ≤ b 且 b ≤ c 蕴含 a ≤ c）的二元关系。元素 a、b 可比，若 a ≤ b 或 b ≤ a；若每对皆可比，则该序为全序（一条链）。两元素及类似格局引出下确界（meet）、上确界（join）、界、极大元与最小元等概念。

偏序集是极广泛数学的背景舞台：按包含排序的集之子集、群的子群、环的理想、拓扑空间的开集、命题间的逻辑蕴含都是偏序集。当下确界与上确界总存在时它们便成为格，而序论词汇——上界、上确界、单调映射、伽罗瓦联络——在代数、拓扑与逻辑中同样地组织着结构。