完备格

完备格把格的想法从“对”加强到任意族：不仅任意两元素有 meet 与 join，而且每个子集——哪怕无穷——都有最大下界与最小上界。正是这种完备性让你能自由地取上确界与下确界，这是贯穿数学的不动点定理与各种闭包构造背后的技术支柱。

严格地说，偏序集 (L, ≤) 是完备格，若 L 的每个子集 S 在 L 中都有下确界（meet）⋀S 与上确界（join）⋁S。取 S 为空与 S = L 即知，完备格自动有最小元 0 = ⋁∅ = ⋀L 与最大元 1 = ⋀∅ = ⋁L。一个有用的省力之处：只需所有子集都有 meet（或对偶地都有 join）即可，因为 join 可经 ⋁S = ⋀{S 的上界} 由 meet 重建。

完备格作为“子结构之格”无处不在：群的子群、向量空间的子空间、环的理想、任何代数的同余、拓扑空间的闭集，以及集上的闭包算子都构成完备格。克纳斯特–塔尔斯基定理使它们在逻辑与计算机科学中不可或缺：完备格上每个单调映射的不动点都构成一个完备格，故有最小与最大不动点——这是归纳与余归纳定义的基础。