布尔代数

布尔代数是“真与假”的代数，或等价地是“集合及其补”的代数。它刻画了逻辑联结词 AND、OR、NOT 所遵守的律，也同样刻画了子集的交、并与补所遵守的律——结果表明这恰是同一套律。它是命题逻辑、数字电路与概率中事件代数的数学核心。

严格地说，布尔代数是有补的分配格：一个有界分配格 (L, ∧, ∨, 0, 1)，其中每个元素 a 有补 ¬a，满足 a ∧ ¬a = 0 与 a ∨ ¬a = 1。等价地，它是带运算 (∧, ∨, ¬, 0, 1)、满足布尔恒等式（含德摩根律 ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b）的代数。在分配格中补一旦存在便唯一，故 ¬ 是名副其实的运算，布尔代数构成一个簇。

斯通表示定理给出了决定性图景：每个布尔代数都同构于一个集域——某幂集在 ∩、∪、补下的子代数——并且同构于某紧致全不连通（斯通）空间的既开又闭集之代数。两元素布尔代数 {0, 1} 是基本砖块：一条恒等式在所有布尔代数中成立，当且仅当它在 {0, 1} 中成立，这正是真值表能判定命题有效性的缘由。