函子

若范畴是一个由对象与箭头构成的世界，函子便是尊重全部这种结构、在世界之间的映射。它把一个范畴的每个对象送到另一个范畴的对象，把每个箭头送到箭头，并保持记账规则：恒等送到恒等，复合送到复合。函子恰是“范畴之间的同态”这一正确观念，而多数自然的数学构造——取基本群、构作自由群、与固定的模作张量积——都是函子。

确切地说，函子 F : C -> D 给 C 中每个对象 A 指派 D 中一个对象 F(A)，给每个态射 f : A -> B 指派一个态射 F(f) : F(A) -> F(B)，使得 F(id_A) = id_{F(A)} 且 F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)。这是协变函子。反变函子则把箭头反向：F(f) : F(B) -> F(A) 且 F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g)；等价地说，它是一个协变函子 C^op -> D。对偶空间构造 V ↦ V* 是反变的典型例子。

函子也有自己一套形容词，描述它在 Hom 集上的作用。称 F 为忠实的，若每个诱导映射 Hom(A, B) -> Hom(F(A), F(B)) 都是单射；称为充满的，若它是满射；称为充分忠实的，若它是双射。像 Grp -> Set 这样的遗忘函子是忠实但不充满。充分忠实函子是辨认范畴等价的关键，因为充分忠实且本质满的函子就是一个等价。