自然变换

一旦把函子看成范畴之间的映射，紧接着自然要问：两个函子之间的映射又是什么？自然变换便是答案。它是把一个函子 F 一致地变为另一函子 G 的方法：在每个对象 A 处选一个态射 F(A) -> G(A)，且选得如此协调，以至与视野内的一切都交换。“自然”一词捕捉了一种非形式的感觉：某构造是典范的——它不依赖于如基之类的任意选择。

给定函子 F, G : C -> D，自然变换 η : F => G 是一族态射 η_A : F(A) -> G(A)，每个对象 A 各一个，称为分量，须满足自然性条件：对 C 中每个态射 f : A -> B，相应方块交换，即 G(f) ∘ η_A = η_B ∘ F(f)。若每个分量 η_A 都是同构，则 η 是自然同构，此时 F 与 G 便“在典范认同意义下相同”。

自然性正是把深刻定理与巧合区分开来的东西。有限维向量空间 V 同构于其对偶 V*，但没有任何同构是自然的——它需要选定一组基。相反，把向量送到“在它处求值”、映入双对偶的映射 V -> (V*)* 却是自然的，这正是双对偶典范地就是原空间的确切含义。函子 C -> D 及其间的自然变换本身也构成一个范畴，即函子范畴 D^C。