米田引理

米田引理是范畴论最深刻的初等定理，其寓意令人难忘：一个对象由通往（或来自）它的全体映射所完全确定。你只须观察每个别的对象如何借态射探测 A，便知 A 的一切。这是“万物因其关系而被认知”这一哲学的严格形式，它使函子 Hom(A, -) 成为对象 A 本身的忠实代理。

陈述如下：对任一局部小范畴 C、任一对象 A 与任一函子 F : C -> Set，自然变换 Hom(A, -) => F 与 F(A) 的元素之间存在双射，且该双射对 A 与 F 都自然。此双射由“在恒等态射 id_A 处求值一个自然变换”给出；其逆则从 F(A) 中一个选定元素构作一个变换。用符号写，Nat(Hom(A, -), F) ≅ F(A)。

一个核心推论是米田嵌入：指派 A ↦ Hom(A, -)（或其反变表亲 A ↦ Hom(-, A)）是从 C 进入一个函子范畴的充分忠实函子。于是 C 作为全子范畴嵌入其预层范畴中，两个对象同构当且仅当其可表函子同构，且一个态射由它在 Hom 集上的诱导所确定。这正是“在 Hom 集上验证”何以是一种合法而有力的证明技巧。