可表函子

可表函子是暗地里不过是“从（或到）某固定对象的映射”的函子。在任一局部小范畴 C 中，每个对象 A 决定一个函子 Hom(A, -)，它把对象 X 送到态射 A -> X 之集。函子 F : C -> Set 称为可表的，若它自然同构于这样一个函子——若存在一个对象 A（表示对象），完全地把 F 编码为“从 A 映出”这一操作。

确切地说，协变函子 F : C -> Set 可表，若存在对象 A 与自然同构 Hom(A, -) ≅ F。由米田引理，这样的表示本质唯一：A 在同构意义下被确定，且该同构对应于 F(A) 中一个杰出的泛元素。反变函子 C -> Set 可表，若它对某个 A 同构于 Hom(-, A)。代数与几何中许多“模”或“解”函子，正是借要求其可表来定义的。

可表性是泛性质的范畴论面孔。说一个构造是表示对象，等于说它满足一条泛性质，反之亦然。例如把环 R 送到其单位群之集的函子，由环 Z[x, y]/(xy − 1) 所表示；多项式环 Z[x] 表示交换环上的底层集合函子。一旦认出一个函子可表，便立即得到一个泛对象。