范畴等价

两个范畴可以并非字面相同，却“在一切实际意义下相同”，正如有限维实向量空间的范畴与实矩阵的范畴用两种语言描述同一情形。范畴等价是忽略无关差异的精确同一性概念——尤其它不要求对象严丝合缝地对应，只需在同构意义下对应。它几乎总是判断两套数学理论何时可互换的正确观念。

函子 F : C -> D 是等价，若存在函子 G : D -> C（拟逆）连同自然同构 G ∘ F ≅ id_C 与 F ∘ G ≅ id_D。从相等放宽到自然同构是本质性的：坚持 G ∘ F = id_C 给出的是稀少而僵硬得多的范畴同构概念，对真实数学而言过于苛刻。

有一条干净的辨认定理。函子 F 是等价，当且仅当它充分忠实且本质满，即 D 的每个对象都同构于某个 F(A)。这一判据使人无须亲手构造拟逆即可验证等价（构造 G 通常需要选择公理，对每个对象各选一个同构）。等价是“范畴的 2-范畴”中的态射，而范畴论真正栖身于这一层级。