多重线性代数与张量代数
对偶空间
对偶空间是你能对一个向量空间施行的全部线性『测量』的总和——每一个都是一条规则，吞入一个向量、以线性方式输出一个标量。若向量是箭头，对偶向量便是从中读数的量规与尺子；它们合起来构成一个自身的空间，与原空间相映照。
对域 K 上的向量空间 V，对偶空间是 V* = Hom_K(V, K)，即一切 K-线性映射（线性泛函）V -> K 的集合。它在逐点加法与数乘下本身是向量空间。当 dim V = n 有限时，dim V* = n 亦然，故 V 与 V* 同构——但并非典范的：该同构依赖于基的选取，经由对偶基给出。
然而，到双对偶空间存在一个典范单射 V -> (V*)*，把 v 送到在 v 处的求值映射；在有限维中它是同构，故 V ≅ (V*)* 是自然的。对偶空间是张量分析中余向量（下标）的来源：一般张量栖身于若干份 V 与若干份 V* 的张量积中，而缩并把一个 V-口与一个 V*-口配对。
在 V = R^2 上，坐标泛函 e_1*(x, y) = x 与 e_2*(x, y) = y 构成 V* 的一组基。任意泛函都是某 a x + b y，例如映射 (x, y) ↦ 3x − y 即 3 e_1* − e_2*。
读取坐标的泛函构成 V* 的对偶基。
在无穷维中，自然映射 V -> (V*)* 是单射但一般不是满射，故 V 不与其双对偶同构。自反空间恰是该映射为同构者——这比有限维情形微妙得多。
另见