缩并

缩并就是让一个向量与一个余向量相遇并坍缩成一个数，从张量中去掉一个上指标和一个下指标。它是物理中对重复指标求和的代数对应：选定一个向量口与一个对偶口，用自然的求值把它们配对，张量的秩便下降二。

其种子是典范的求值配对 V ⊗ V* -> K，v ⊗ φ ↦ φ(v)，因 (v, φ) ↦ φ(v) 双线性，由万有性质良定义。对 V^{⊗p} ⊗ (V*)^{⊗q} 中的混合张量，选取一份 V 因子与一份 V* 因子，在该处施行此配对、其余不动，便得到 V^{⊗(p−1)} ⊗ (V*)^{⊗(q−1)} 中的张量。用指标记法这恰是爱因斯坦求和 T^{...i...}_{...i...}。

缩并统一了许多熟悉的运算：线性映射的迹是 V ⊗ V* 中相应元素的完全缩并，向量与余向量的配对是单次缩并，矩阵乘法是对共享指标的缩并。因为它仅由典范配对构造而成，缩并与基无关——是张量上真正内在的运算。