张量积
张量积是让双线性行为变为普通线性行为的正式归宿。面对抵触线性代数方法的双线性映射 B: M × N -> P，我们构造单一的新模 M ⊗ N，连同一个万有双线性映射 M × N -> M ⊗ N，(m, n) ↦ m ⊗ n，使得 B 恰可由唯一的线性映射 M ⊗ N -> P 还原。实际上我们把两个耦合的口换成了一个空间，在其中它们已被相乘到一起。
在交换环 R 上如下构造 M ⊗_R N：取以一切符号 (m, n) 为基的自由 R-模，再对强制双线性的关系作商——(m + m', n) − (m, n) − (m', n)、(m, n + n') − (m, n) − (m, n')，以及 (r·m, n) − r·(m, n)、(m, r·n) − r·(m, n)。(m, n) 的像记作 m ⊗ n。元素是这种纯张量的有限和；并非每个元素本身都是纯张量。
张量积具有函子性并满足干净的法则：M ⊗ N ≅ N ⊗ M，R ⊗ M ≅ M，对直和的分配律 (M ⊕ M') ⊗ N ≅ (M ⊗ N) ⊕ (M' ⊗ N)，且对向量空间维数相乘，dim(V ⊗ W) = dim V · dim W。一个诚实的细微之处：张量化是右正合但一般并非左正合——其正合性的失效由函子 Tor 度量，而使张量化保持正合的模恰是平坦模。
Z/2Z ⊗_Z Z/3Z = 0，因为在 m ⊗ n 中可写 m ⊗ n = 3·(m ⊗ n) − 2·(m ⊗ n) = m ⊗ 3n − 2m ⊗ n = 0 − 0 = 0（用到 3n = 0 与 2m = 0）。更一般地，Z/mZ ⊗ Z/nZ ≅ Z/gcd(m, n)Z。
互素循环群张量化后湮灭——这生动地表明 ⊗ 并非只是乘积。
在非交换环 R 上，是把右 R-模与左 R-模张量化，M ⊗_R N，除非有额外结构（双模），结果仅是阿贝尔群。上文干净的交换理论是最常先遇到的情形。