张量积的万有性质

万有性质不靠对象如何被构造、而靠它最擅长做什么来刻画它：张量积是把双线性映射转化为线性映射的最高效装置，一旦你知道这份职能说明，其内部构造便无关紧要。任意两个满足该说明的对象都典范同构，故张量积在唯一同构意义下被确定。

陈述：存在一个双线性映射 ι: M × N -> M ⊗ N，ι(m, n) = m ⊗ n，具有如下性质：对每个 R-模 P 和每个双线性映射 B: M × N -> P，都存在唯一的 R-线性映射 B': M ⊗ N -> P 使得 B = B' ∘ ι。换言之，每个双线性映射都唯一地分解为一个线性映射与万有映射的复合。这使 ⊗ 成为表示双线性映射之函子的载体：Bilin(M × N, P) ≅ Hom_R(M ⊗ N, P)。

实用要旨是：你只需在纯张量上按一条双线性规则给出从 M ⊗ N 出发的映射并仅验证双线性——万有性质便保证存在良定义的线性延拓。楔积、对称化与缩并映射正是借此被干净地定义，也正因如此，关于张量积的证明几乎从不触及自由模取商的构造。