双线性映射
设想一台有两个输入口的机器，把两种原料合成一个输出。双线性映射就是这样一台机器：固定一个口、拨动另一个口时，输出沿直线（线性）变化；交换固定哪个口，规律相同。它对每个变量分别都是线性的，但两者合起来可以呈现非线性：把两个输入同时翻倍，输出通常变为四倍而非两倍。
确切地说，设 M、N、P 是交换环 R 上的模（若 R 是域则为向量空间）。若映射 B: M × N -> P 对一切 m、m' 属于 M，n、n' 属于 N，r 属于 R 都满足 B(m + m', n) = B(m, n) + B(m', n)、B(m, n + n') = B(m, n) + B(m, n')，以及 B(r·m, n) = r·B(m, n) = B(m, r·n)，则称 B 为双线性映射。等价地，固定任一坐标都得到另一坐标上的 R-线性映射。
双线性映射是整个学科组织起来的核心对象。它并不是乘积 M × N 上的线性映射（该乘积没有能正确混合两个口的标量运算），因此抵触通常的线性代数工具。补救之道是构造一个新空间——张量积——使每个双线性映射都经它分解为一个普通的线性映射，这正是下文构造的全部用意。
R^n 上的点积 B(u, v) = u·v 是双线性的：B(2u, v) = 2 B(u, v)，B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w)。R^3 上的叉积、以及由 B(a, b) = ab 给出的普通乘法 R × R -> R 同样如此。
点积、叉积与普通乘法是双线性映射的典型样例。
注意：双线性映射作为乘积上的函数一般并不可加，因为 B((m, n) + (m', n')) = B(m + m', n + n') 按双线性展开成四项而非两项。正是这种可加性的失效，才使得需要张量积而非直和。