多重线性映射

把双线性映射的想法再增加几个输入口。多重线性映射是一台有 k 个口的机器：固定其余各口时，它对每一个口都呈线性。调整任一单独的变量都按完全成比例的方式缩放或相加，尽管各口合起来以丰富的非线性方式相互作用。

形式地说，给定 R-模 M_1、…、M_k 与 P，若映射 f: M_1 × ... × M_k -> P 对每个下标 i，固定除第 i 个外的所有坐标都得到一个 R-线性映射 M_i -> P，则称 f 为 k-重线性映射。k = 1 时它就是线性映射，k = 2 时是双线性映射；术语 k-线性很常用。当所有 M_i 都等于固定的模 M 且 P = R 时，称之为 k 次多重线性形式。

多重线性是行列式、体积与张量分析的天然舞台：n × n 矩阵的行列式是其各列上唯一的、把单位阵送到 1 的交错 n-线性形式。正如双线性映射被 M ⊗ N 线性化，每个从 M_1 × ... × M_k 出发的 k-重线性映射都唯一地经由 k 重张量积 M_1 ⊗ ... ⊗ M_k 上的一个线性映射分解。