作为顶层外幂的行列式

这是对行列式究竟是什么的无坐标解释：一个线性映射把最高维有向体积拉伸的那个唯一数。n 维空间的顶层外幂 Λ^n(V) 是一维的——本质上只有一个『体积元』——故任何线性映射都只能将其缩放，而那个缩放因子就是行列式。

设 V 是 n 维向量空间、T: V -> V 线性。函子性给出顶层（一维）外幂上的诱导映射 Λ^n(T): Λ^n(V) -> Λ^n(V)，在生成元上由 Λ^n(T)(v_1 ∧ ... ∧ v_n) = T(v_1) ∧ ... ∧ T(v_n) 定义。由于 Λ^n(V) 一维，Λ^n(T) 是乘以唯一标量，该标量按定义（且与通常公式一致）就是 det(T)。

此观点使行列式的关键性质立即且无基地显现。乘性 det(ST) = det(S) det(T) 不过是 Λ^n 的函子性应用于复合；det(T) = 0 当且仅当 T(v_1), ..., T(v_n) 相关，即 T 不可逆；且该构造无需选基，解释了为何行列式与基无关。一般的 k 次外幂 Λ^k(T) 同样产出特征值的初等对称函数。