多重线性代数与张量代数
外代数
外代数是当你规定『一个向量乘自身为零』时所得之物——这条规则刻画了有向面积与体积的几何。把重复方向压成零，会迫使两个因子交换时变号，于是乘积变得反对称。它是行列式、微分形式以及有向 k 维体积概念背后的代数引擎。
给定 R-模 V，外代数 Λ(V) 是张量代数 T(V) 对由一切 v ⊗ v（v 属于 V）生成的双边理想所作的商。诱导出的乘积用楔号 ∧ 表示，关系 v ∧ v = 0 迫使 v ∧ w = −w ∧ v。作为分次代数 Λ(V) = ⊕_{k≥0} Λ^k(V)，其中 Λ^k(V) 由楔积 v_1 ∧ ... ∧ v_k 张成；这样的楔积为零当且仅当这些向量线性相关。
若 V 的维数为 n，则 dim Λ^k(V) = C(n, k)（二项式系数），该代数有限维、总维数为 2^n，且当 k > n 时 Λ^k(V) = 0。顶层 Λ^n(V) 是一维的，线性映射在其上的作用就是乘以行列式。Λ^k(V) 的元素恰是交错 k-张量，是反对称多重线性形式的归宿。
对带基 e_1, e_2, e_3 的 V = R^3：Λ^0 = R，Λ^1 = V（维 3），Λ^2 由 e_1∧e_2、e_1∧e_3、e_2∧e_3 张成（维 3），Λ^3 由 e_1∧e_2∧e_3 张成（维 1）；总和 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3。
维数 1, 3, 3, 1 是帕斯卡三角的第 3 行，和为 2^3。
在特征 2 中，必须用由 v ⊗ v 生成的理想、而非由 v ⊗ w + w ⊗ v 生成的理想来定义 Λ(V)：当 2 不可逆时，关系 v ∧ v = 0 严格强于反对称性，只有前者给出正确的外代数。
又称
另见